Matematikářka CZ

Zopakovali jsme již všechny čtyři klasické úlohy na užití určitého integrálu a tak si na závěr spočítáme ještě jeden obyčejný určitý integrál. Počítáme pomocí substituce a ukážeme si, jak substituovat i dané meze.

Počítání pravděpodobnosti si dnes uzavřeme další klasickou úlohou, ve které házíme 3x jednou mincí. A zajímá nás pravděpodobnost, že padne alespoň dvakrát líc.

Závěrem našeho počítání na obvody a obsahy si spočítáme obsah lichoběžníku. Zopakujeme si vzorec pro výpočet obsahu lichoběžníku, využijeme také obsahu trojúhelníku a snadno tak vše určíme.

Další příklad si zopakujeme výpočet obsahu rotační plochy a opět si využijeme k počítání určitý integrál. Máme daný vzorec a postupnými kroky si vše spočítáme. Nakonec funkci zintegrujeme a dosadíme dané meze.

Dnes si trochu navážeme na předchozí příklad a spočítáme si stejnou úlohu na pravděpodobnost, kde máme v osudí 10 koulí. A tentokrát chceme spočítat, jaká je pravděpodobnost, že vytáhneme nejvýše dvě žluté koule.

Dnes si společně spočítáme délku pásu u modelu vozidla. Využijeme výpočtu obvodu kružnice a celou délku pásu tak snadno zjistíme.

V dalším příkladu na užití určitého integrálu si spočítáme objem tělesa v daném intervalu, které vzniká rotací obrazce ohraničeného grafem funkce sinx a rotuje kolem osy x. Použijeme vzorec pro objem tělesa, zopakujeme si goniometrický vzorec a také substituci.

Ve druhé úloze na pravděpodobnost máme v osudí 10 koulí, ze kterých jsou tři žluté. Najednou vybereme tři koule a spočítáme si, jaká je pravděpodobnost, že budou mezi vytaženými koulemi alespoň dvě žluté.

V další úloze si společně spočítáme obsah obdélníku KLMN. Obdélník je rozdělen na tři části - rovnoběžník a dva shodné trojúhelníky. Známe tři velikosti, využijeme Pythagorovu větu a dopočítáme si délku obdélníku. A nakonec i celý obsah obdélníku KLMN.

Ve druhém příkladu na užití určitého integrálu si spočítáme délku oblouku křivky. Pomocí odvozeného vzorce si funkci nejdříve zderivujeme, umocníme, přičteme jedničku a nakonec odmocníme. A toto celé nakonec zintegrujeme jako určitý integrál v daných mezích.

Ve druhé úloze si spočítáme obsah nezakryté části kruhu, který má poloměr 100mm. Kruh je překryt trojúhelníkem ABS, jehož vrcholy A,B leží na kružnici k. Pomocí výpočtu obsahu kruhu a trojúhelníku šikovně spočítáme hledaný obsah.

Do nového tématu pro tento měsíc si společně zopakujeme použití určitého integrálu. Vezmeme si dvě funkce, které si nakreslíme do kartézské soustavy souřadnic a vytvoříme si plochu, jejíž obsah chceme spočítat.

Další naše téma si navážeme na kombinatoriu a společně si zopakujeme pravděpodobnost. V první úloze si spočítáme, jaká je pravděpodobnost, že z deseti karet, ve kterých jsou právě čtyři esa, si vytáhneme v pěti kartách právě tři esa.

Do dnešního příkladu si společně otevřeme téma “obvody a obsahy obrazců”. Na úvod si spočítáme obsah čtverce za pomoci Pythagorovy věty a s využitím vlastností rovnoramenného trojúhelníku.

Na závěr parciálních funkcí dvou proměnných si spočítáme lokální extrémy funkce. Opět použijeme obě parciální derivace, zopakujeme si soustavu rovnic a řekneme si, co je to Hessián. A také jak poznáme, že máme lokální maximum a nebo minimum funkce.

Téma kombinatoriky si dnes společně uzavřeme příkladem na variaci. Pomocí rovnice a vzorce pro variaci si v úloze spočítáme původní počet prvků.

Naše dubnové téma na převody jednotek si uzavřeme klasickou úlohou, ve které si spočítáme, za jak dlouho naplníme vodní nadrž. Známe objem nádrže a víme také, kolik hektolitrů dodá čerpadlo za jednu minutu. Vše si převedeme na shodné jednotky a lehce spočítáme.

Dnes si zopakujeme jedno ze základních užití parciálních derivací a to rovnici tečné roviny ke grafu funkce v tečném bodě. Máme zadanou funkci dvou proměnných, spočítáme si obě první parciální derivace a jejich funkční hodnoty v daném bodě. Nakonec vše dosadíme do obecného tvaru.

V našem dalším příkladu si spočítáme ještě jednu kombinaci, ve které máme 20 výrobků a z nich je 8 rozbitých. Chceme zjistit, kolika možnými způsoby lze vybrat pět výrobků tak, aby mezi vybranými byly právě dva výrobky rozbité. S použitím kombinačního čísla vše hravě zjistíme.

Do další úlohy na převody jednotek si dnes spočítáme, o okolik mm se liší délka a šířka obdélníku. V zadání máme danou šířku obdélníku a jeho obsah. Vše si převedeme na shodné jednotky a snadno tak dopočítáme.

Ve druhém příkladu za parciálního počtu dvou proměnných si spočítáme druhou parciální derivaci podle “y”. Zderivujeme tedy dvakrát naši funkci tak, že “x” je konstanta a “y” je proměnná.

V další úloze z kombinatoriky si společně zopakujeme, kolika způsoby lze vybrat trojici studentů, ve které jsou dvě děvčata a jeden chlapec. Vzhledem k tomu, že nám nezáleží na pořadí výběru, použijeme pro výpočet kombinaci. A pomocí kombinačního čísla vše snadno spočítáme.

Ve druhém příkladu na převody jednotek si spočítáme, kolikrát je 6 krychlových centimetrů menší než 15 litrů.

Dnes si otevřeme další nové téma a to diferenciální počet funkce dvou proměnných. Na úvod si zopakujeme první parciální derivace jak podle “x”, tak podle “y” a připomeneme si základní derivace funkce.

V kombinatorice ještě chvíli zůstaneme a do dalšího příkladu si dnes spočítáme, kolik různých přirozených čísel můžeme sestavit ze sedmi zadaných cifer, aby se žádná cifra neopakovala a dané číslo bylo pěticiferné. A ukážeme si to rovnou dvěma způsoby - nejen pomocí variace bez opakování.

Další nové téma, které stojí za připomenutí si vezmeme převody jednotek. Ve dvou příkladech si procvičíme jak převody čtverečních jednotek, tak převod času.

Téma determinanty si dnes společně uzavřeme Cramerovým pravidlem. V soustavě lineárních rovnic si pomocí výpočtu determinantů spočítáme neznámou “z”. Opět použijeme Sarrusovo pravidlo k výpočtu determinantu 3. řádu a nakonec oba determinanty spolu vyděíme.

Pokračujeme dále v tématu “kombinatorika” a jako další příklad si zopakujeme rovnici s kombinačními čísly. Využijeme našich znalostí při počítání kombinačního čísla, faktoriály vhodně upravíme a dopočítáme obyčejnou rovnici. Nakonec ještě nezapomeneme na podmínku, kterou si zkonzultujeme s našim výsledkem.

V dalším našem počítání s úhly máme dva rovnoramenné trojúhelníky a známe jeden úhel gama. Pomocí vlastností v rovnoramenném trojúhelníku a přímého úhlu dopočítáme zbylé úhly a odpovíme tak na otázku součtu úhlů alfa, beta i delta.

V dalším pokračování počítání s determinanty si zopakujeme, jak spočítat determinant 4. řádu. Pro výpočet použijeme Laplaceův rozvoj neboli rozvoj pomocí řádku nebo sloupcea velice šikovně tak využijeme naše znalosti z předchozího počítání.

V další naší úloze na počítání s úhly máme pravidelný devítiúhelník, ve kterém není dána žádná hodnota. Pomocí znalostí plného úhlu a rovnoramenného trojúhelníku snadno spočítáme neznámé úhly.

Ve druhém příkladu z počítání s determinanty si spočítáme determinantovou rovnici. Ze zadání si spočítáme jednotlivé determinanty pomocí známých metod a rovnici tak nakonec snadno spočítáme.

V další úloze budeme pokračovat v počítání s úhly. V zadání máme vodorovnou přímku, kolmici a dvě různoběžné přímky. Známe velikosti dvou úhlů a pomocí znalostí součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku a vrcholových úhlů si snadno dopočítáme náš hledaný úhel.

Pro tento týden jsem si pro vás připravila opakování integrálů a vybrala jsem 6 příkladů nejen z loňského školního roku, ve kterých máme ukázány základní metody počítání.

Pro tento týden jsem si pro vás připravila opakování různých druhů rovnic a vybrala jsem 8 příkladů z loňského školního roku, které by se mohly hodit i jako opakování k maturitní zkoušce z matematiky. Vyzkoušejte si, jak jednotlivé rovnice šikovně vyřešit.

Pro tento týden jsem pro vás zvolila opakování a vybrala jsem 8 příkladů z loňského školního roku, které by se mohly podobat příkladům u přijímacích zkoušek na střední školy. Během půl hodiny si tak můžete zopakovat různá témata vhodná k letošní přípravě na přijímačky.

V maticovém počtu si pro tento měsíc ještě zůstaneme a zopakujeme si počítání s determinanty. Na úvod si spočítáme, zda je matice regulární, právě za pomoci výpočtu determinantu. Použijeme Sarrusovo pravidlo, které lze využít pro determinanty 3. řádu a podle výsledku rozhodneme, jestli je daná matice regulární.

Jako nové téma si pro tento měsíc otevřeme kombinatoriku a začneme základním výpočtem kombinačního čísla. Zopakujeme si jeho obecný tvar i jak počítat s faktoriály. Vše si šikovně upravíme tak, abychom mohli krátit a dostali se snadno k výsledku.

Na závěr maticového počtu si spočítáme ještě jeden klasický příklad a to na hodnost matice v závislosti na parametru. Vytvoříme si pomocí Gaussovy eliminační metody nuly pod diagonálu a provedeme si diskuzi nad možnostmi hodnosti matice v závislosti na parametru p.

Poslední kuželosečkou, která nám chybí si zopakovat, je hyperbola. Zadáme si ji ve středovém tvaru, ze kterého snadno zjistíme umístění hyperboly v souřadnicovém systému. Dále si určíme velikosti hlavní a veldejší poloosy, dopočítáme si excentricitu a nakonec vše zakreslíme, včetně asymptot hyperboly.

Do poslední slovní úlohy si společně spočítáme, jak přesypat korálky ze dvou mističek do třetí tak, abychom měli všude stejný počet. Známe počty korálků ve dvou mističkách a pomocí obyčejné lineární rovnice a podmínek ze zadání tak snadno spočítáme vše potřebné.

V dalším příkladu si společně spočítáme maticovou rovnici. Nejdříve si ji šikovně upravíme, abychom získali přesný postup, jak spočítat hledanou matici. Poté si v jednotlivých krocích vypočteme vše potřebné a nakonec vynásobením dvou dílčích matic získáme neznámou matici X.

Další kuželosečku v řadě si vezmeme parabolu, kterou si zadáme obecnou rovnicí. Tu si převedeme na vrcholový tvar a podle něj určíme přesnou polohu paraboly. Nakonec dopočítáme parametr p a celou parabolu, včetně její řídící přímky, zakreslíme.

V další dnešní úloze máme Daníka, který si chce koupit 15 balíčků Pokémon kartiček, ale chybí mu 52 korun. Rozhodne se nakonec, že koupí jen 12 balíčků, aby se mohl rozdělit se svými děma sourozenci a ještě mu zyblo 284 korun. Společně si spočítáme, kolik stály balíčky Pokémon kartiček pro každé dítě.

Ve druhém příkladu z maticového počtu si ukážeme, jak určit matici transponovanou k dané matici. Velice snadno si pouze zaměníme řádky za sloupce a máme hotovo. Na závěr si ještě obě matice vynásobíme a zopakujeme si tak i součin dvou matic.

Druhou kuželosečku si dnes zopakujeme elipsu, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou y. Máme zadaný střed, velikost hlavní poloosy a excentricitu. Do středové rovnice tak snadno dopočítáme velikost vedlejší poloosy a elispu si nakonec zakreslíme.

Ve druhé slovní úloze na použití lineárních rovnic pro tentokrát neznáme celkový počet knih v knihovně před rekonstrukcí. Označíme si jej jako neznámou x a postupně si zapíšeme, co všechno víme o jednotlivých dnech. Poté si vytvoříme rovnici, kterou snadno dopočítáme.

Naše nové téma pro tento měsíc bude maticový počet. Na úvod si zopakujeme, jak poznat matici regulární či singulární. Dále si zvolíme pro výpočet Gaussovu eliminační metodu a pomocí nul pod diagonálu matici šikovně upravíme. Nakonec rozhodneme o jakou matici se jedná.

Jako nové téma si pro tentokrát otevřeme téma kuželosečky a první z nich si vyřešíme kružnici. Máme obecný tvar kružnice, který si nejdříve šikovně převedeme na středový tvar za použití algebrického vzorce. Tím si zjistíme střed i poloměr kružnice, kterou již pak snadno zakreslíme.

Další nové téma si společně otevřeme použití lineárních rovnic při výpočtu slovních úloh. První si spolčítáme klasickou slovní úlohu, kde máme tři část prkna a chceme jej rozdělit dle zadání úlohy. Vhodně si zvolíme neznámou, vytvoříme si zápis a celé to přepíšeme do rovnice. Tu si snadno vypočítáme a máme tak spočítané vše potřebné.

V posledním příkladu z integrálního počtu si ještě zopakujeme integraci racionální lomené funkce. Intergál si rozložíme na součet dvou parciálních zlomků, ve kterých si šikovně dopočítáme jejich konstanty. Nakonec vše snadno zintegrujeme podle tabulkového vzorce.

Na závěr našeho lednového téma logaritmů si dnes ještě v krátkosti ukážeme, jak funguje logaritmická funkce. Rozdělíme si ji na dva typy, podle základu logaritmu, nakreslíme si grafy a nakonec si určíme vlastnosti funkce.

Do posledního příkladu na téma procenta si společně ještě ukážeme, jak spočítat dvojí zlevnění. Procenta nikdy nesčítáme a hezky si obě slevy spočítáme zvlášť. Máme tak dva výpočty, které již umíme spočítat a dopočítáme se tak výsledné ceně.

V dnešním příkladu si spočítáme integrál, ve kterém použijeme tentokrát metodu substituce. Šikovně si nahradíme argument goniometrické funkce tak, abychom byli schopní integrál snadno zintegrovat. Nezapomeneme ani na “dx” a nakonec vše do výsledku zpátky vrátíme.

Dnes si navážeme na logaritmické rovnice a spočítáme si jednu hezkou logaritmickou nerovnici. Ukážeme si v ní ještě poslední základní větu, kterou při počítání využijeme. A samozřejmě věty, které již dobře známe. Při odlogaritmování si pohlídáme velikost základu logaritmu kvůli znaménku nerovnosti. Nakonec výsledek ještě zkonzultujeme s podmínkou a máme hotovo.

V další slovní úloze na proceta si ukážeme, jak spočítat procentovou část. Známe základ, tedy 100% a zajímá nás, kolik procent tvoří část žáků. Výpočet si ukážeme pomocí zlomku a snadno a rychle dopočítáme, co potřebujeme.

Ve druhém příkladu na integraci si zopakujeme metodu per partes. Máme dvě vhodné funkce v součinovém tvaru, kde pomocí vzorce a šikovné tabulky si vše šikovně upravíme. Nakonec integrál hezky zintegrujeme.

Ve druhém příkladu si spočítáme ještě jednu logaritmickou rovnici, kde pro výpočet použijeme dvě další věty o logaritmech. Vše si tak šikovně upravíme do obyčejné rovnice a tu si spočítáme. Nakonec si výsledek nezapomeneme zkonzultovat s naší podmínkou, aby bylo vše v pořádku.

Do druhého příkladu na procenta si zopakujeme úlohu, ve které si spočítáme základ celku. Víme, že 22 hráčů nám tvoří 8 % celkového počtu a tentokrát pomocí trojčlenky si spočítáme, kolik hráčů celkem je ve fotbalovém týmu.

Do příštího nového tématu bych ráda navázala na derivace a zopakujeme si jejich opak, což je integrace. Ukážeme si, jak integrály fungují a jaké základní metody se při počítání používají. Začneme hezky přímou metodou, kde si pouze funkce šikovně upravíme a poté podle tabulkových vzorců zintegrujeme.