Matika pro střední

Počítání pravděpodobnosti si dnes uzavřeme další klasickou úlohou, ve které házíme 3x jednou mincí. A zajímá nás pravděpodobnost, že padne alespoň dvakrát líc.

Dnes si trochu navážeme na předchozí příklad a spočítáme si stejnou úlohu na pravděpodobnost, kde máme v osudí 10 koulí. A tentokrát chceme spočítat, jaká je pravděpodobnost, že vytáhneme nejvýše dvě žluté koule.

Ve druhé úloze na pravděpodobnost máme v osudí 10 koulí, ze kterých jsou tři žluté. Najednou vybereme tři koule a spočítáme si, jaká je pravděpodobnost, že budou mezi vytaženými koulemi alespoň dvě žluté.

Další naše téma si navážeme na kombinatoriu a společně si zopakujeme pravděpodobnost. V první úloze si spočítáme, jaká je pravděpodobnost, že z deseti karet, ve kterých jsou právě čtyři esa, si vytáhneme v pěti kartách právě tři esa.

Téma kombinatoriky si dnes společně uzavřeme příkladem na variaci. Pomocí rovnice a vzorce pro variaci si v úloze spočítáme původní počet prvků.

V našem dalším příkladu si spočítáme ještě jednu kombinaci, ve které máme 20 výrobků a z nich je 8 rozbitých. Chceme zjistit, kolika možnými způsoby lze vybrat pět výrobků tak, aby mezi vybranými byly právě dva výrobky rozbité. S použitím kombinačního čísla vše hravě zjistíme.

V další úloze z kombinatoriky si společně zopakujeme, kolika způsoby lze vybrat trojici studentů, ve které jsou dvě děvčata a jeden chlapec. Vzhledem k tomu, že nám nezáleží na pořadí výběru, použijeme pro výpočet kombinaci. A pomocí kombinačního čísla vše snadno spočítáme.

V kombinatorice ještě chvíli zůstaneme a do dalšího příkladu si dnes spočítáme, kolik různých přirozených čísel můžeme sestavit ze sedmi zadaných cifer, aby se žádná cifra neopakovala a dané číslo bylo pěticiferné. A ukážeme si to rovnou dvěma způsoby - nejen pomocí variace bez opakování.

Pokračujeme dále v tématu “kombinatorika” a jako další příklad si zopakujeme rovnici s kombinačními čísly. Využijeme našich znalostí při počítání kombinačního čísla, faktoriály vhodně upravíme a dopočítáme obyčejnou rovnici. Nakonec ještě nezapomeneme na podmínku, kterou si zkonzultujeme s našim výsledkem.

Pro tento týden jsem si pro vás připravila opakování různých druhů rovnic a vybrala jsem 8 příkladů z loňského školního roku, které by se mohly hodit i jako opakování k maturitní zkoušce z matematiky. Vyzkoušejte si, jak jednotlivé rovnice šikovně vyřešit.

Jako nové téma si pro tento měsíc otevřeme kombinatoriku a začneme základním výpočtem kombinačního čísla. Zopakujeme si jeho obecný tvar i jak počítat s faktoriály. Vše si šikovně upravíme tak, abychom mohli krátit a dostali se snadno k výsledku.

Poslední kuželosečkou, která nám chybí si zopakovat, je hyperbola. Zadáme si ji ve středovém tvaru, ze kterého snadno zjistíme umístění hyperboly v souřadnicovém systému. Dále si určíme velikosti hlavní a veldejší poloosy, dopočítáme si excentricitu a nakonec vše zakreslíme, včetně asymptot hyperboly.

Další kuželosečku v řadě si vezmeme parabolu, kterou si zadáme obecnou rovnicí. Tu si převedeme na vrcholový tvar a podle něj určíme přesnou polohu paraboly. Nakonec dopočítáme parametr p a celou parabolu, včetně její řídící přímky, zakreslíme.

Druhou kuželosečku si dnes zopakujeme elipsu, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou y. Máme zadaný střed, velikost hlavní poloosy a excentricitu. Do středové rovnice tak snadno dopočítáme velikost vedlejší poloosy a elispu si nakonec zakreslíme.

Jako nové téma si pro tentokrát otevřeme téma kuželosečky a první z nich si vyřešíme kružnici. Máme obecný tvar kružnice, který si nejdříve šikovně převedeme na středový tvar za použití algebrického vzorce. Tím si zjistíme střed i poloměr kružnice, kterou již pak snadno zakreslíme.

Na závěr našeho lednového téma logaritmů si dnes ještě v krátkosti ukážeme, jak funguje logaritmická funkce. Rozdělíme si ji na dva typy, podle základu logaritmu, nakreslíme si grafy a nakonec si určíme vlastnosti funkce.

Dnes si navážeme na logaritmické rovnice a spočítáme si jednu hezkou logaritmickou nerovnici. Ukážeme si v ní ještě poslední základní větu, kterou při počítání využijeme. A samozřejmě věty, které již dobře známe. Při odlogaritmování si pohlídáme velikost základu logaritmu kvůli znaménku nerovnosti. Nakonec výsledek ještě zkonzultujeme s podmínkou a máme hotovo.

Ve druhém příkladu si spočítáme ještě jednu logaritmickou rovnici, kde pro výpočet použijeme dvě další věty o logaritmech. Vše si tak šikovně upravíme do obyčejné rovnice a tu si spočítáme. Nakonec si výsledek nezapomeneme zkonzultovat s naší podmínkou, aby bylo vše v pořádku.

Na téma exponenciální rovnice si navážeme počítáním s logaritmy a připomeneme si základní logaritmické rovnice, nerovnice a funkce. Do prvního příkladu si spočítáme rovnici, určíme si její podmínky řešení a pomocí věty o logaritmech vše krásně dopočítáme.

Na závěr tématu “Exponenciální rovnice, nerovnice a funkce” si společně zakreslíme dvě funkce. Ukážeme si na nich jejich vlastnosti, spočítáme si tabulku funkčních hodnot, graf si namalujeme a povíme si k tomu vše potřebné.

Další typ exponenciální rovnice je rovnice řešená pomocí substituce. Nejdříve si upravíme členy tak, abychom mohli substitovat a dostaneme z toho rovnici kvadratickou. Tu si spočítáme klasicky pomocí diskriminantu a výsledky pak vrátíme do naší substituce, kterou snadno již spočítáme.

Další příklad na téma “Exponenciální rovnice, nerovnice a funkce” si spočítáme exponenciální nerovnici. Pro výpočet použijeme trochu odlišný postup, než v minulém příkladu, protože máme jednotlivé členy ve sčítání a odčítání. Za pomoci známých vztahů vše upravíme a hezky spočítáme.

Exponenciální rovnice, nerovnice a funkce bude naše nové téma pro tento měsíc a začneme zopakováním klasické exponenciální rovnice. Budeme potřebovat operace s mocninami a odmocninami, které již ale máme vyzkoušené, tak naším úpravám nestojí vůbec nic v cestě.

Jako poslední z téma “Kvadratické rovnice, nerovnice a funkce” si připomeneme sestrojení kvadratické funkce. Zopakujeme si, jak spočítat průsečíky s osami souřadnic, vrchol paraboly, jak funkci nakreslit i určit její vlastnosti.

Vedle klasické kvadratické nerovnice, kterou jsme počítali v minulém příkladu si dnes přidáme nerovnici v podílovém tvaru. Nerovnici nenásobíme jmenovatelem, ale upravím si ji na tvar, abychom měli nulu na jedné straně. A z tohoto tvaru spočítáme řešení pomocí nulových bodů.

Ve druhém příkladu si spolu spočítáme kvadratickou nerovnici. K výpočtu použijeme číselnou osu a její rozdělení na jednotlivé intervaly. A do výsledku vezmeme takový interval, který je menší a nebo roven nule, tudíž záporný.

Jako další nové téma si dnes otevřeme ,,kvadratické rovnice, nerovnice a funkce” a na úvod si spočítáme klasickou kvadratickou rovnici. Počítání začneme podmínkou, rovnici si upravíme do obecného tvaru a k řešení použijeme vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice s použitím diskriminantu.

Do posledního příkladu na téma ,,Mocniny a odmocniny” bych ráda ještě zopakovala příklad na usměrňování zlomku. Ukážeme si, jak rozšířit zlomek, aniž bychom ho změnili a z tím se zbavit odmocnin ve jmenovateli. A nakonec vše můžeme klasicky spolu roznásobit.

Další příklad na téma ,,mocniny a odmocniny” si upravíme výraz zadaný převážně pomocí odmocnin. A při jeho zjednodušení si zopakujeme všechna pravidla, která budeme potřebovat k základním úpravám.

Ve druhém příkladu na úpravu mocnin si upravíme algebraický výraz tak, aby výsledek neobsahoval mocniny se záporným exponentem. Zopakujeme si základní pravidla při počítání s mocninami a výraz tak snadno zjednodušíme.

Jako druhé téma si společně zopakujeme “mocniny a odmocniny” a začneme úpravou číselného výrazu. Připomeneme si, jak funguje záporné číslo na sudou a lichou mocninu a celý výraz si šikovně upravíme.

Téma ,,Úpravy algebraických výrazů” si uzavřeme příkladem, ve kterém si kromě dělení zopakujeme také sčítání a odčítání zlomků, máme-li neznámou ve jmenovateli. Opět využijeme k finální úpravě algebraické vzorce a samozřejmě si určíme podmínky pro celý výraz.

V dalším příkladu na úpravu algebraického výrazu si vezmeme dva zlomky spolu v dělení. Připomeneme si, jak z dělení udělat násobení, vytknmeme si před závorku, pokrátíme a v poslední řadě si určíme podmínky.

Druhý příklad na úpravu algebraického výrazu zkusíme krácení dvou zlomků v násobení. Osvěžíme si, jak se vytýká před závorku a opět využijeme jeden ze základních algebraických vzorců.

V prvním příkladu na úpravy algebraických výrazů si společně zopakujeme úpravu jednoho zlomku. Za použití vhodných algebraických vztahů si zlomek upravíme a pokrátíme do základního tvaru.

V další úloze na geometrickou posloupnost budeme chtít vložit čtyři členy mezi dvě čísla tak, aby nám tvořily geometrickou posloupnost. Podívejte se, jak na to.

Další matematickou posloupnost si ukážeme geometrickou posloupnost. Spočítáme si krátký příklad s použitím n-tého členu a zjistíme si hodnotu prvního a patnáctého členu.

U aritmetické posloupnosti se dnes spočítáme první člen a diferenci ze dvou rovnice s různými členy. Vše si nahradíme za použití vzorce pro n-tý člen a spočítáme jako dvě rovnice o dvou neznámých.

Dnes si otevřeme nové téma a to téma aritmetické a geometrické posloupnosti. Jako první si zopakujeme, jak spočítat diferenci a 26. člen v aritmetické posloupnosti. Jednoduše použijeme vzorec pro n-tý člen a vše snadno spočítáme.

Vedle algebraického tvaru můžeme komplexnímu číslu určit také tvar goniometrický. Zopakujeme si, jak spočítat absolutní hodnotu komplexního čísla a jak určit úhel, který svírá s počátkem a kladnou poloosou x.

Druhý příklad z kapitoly komplexních čísel si zopakujeme, jak určit absolutní hodnotu komplexního čísla. Zadání si převedeme do algebraického tvaru a pomocí Pythagorovy věty spočítáme jeho absolutní hodnotu.

Další téma na opakování si vezmeme komplexní čísla a určíme si reálnou a imaginární část z algebraického tvaru. K tomu nám jen stačí si vhodně rozšířit kompexní číslo a zbavit se komplexní jednotky ze jmenovatele.

Zůstaneme ještě u goniometrických rovnic a ukážeme si její výpočet pomocí substituce. Zopakujeme si výpočet kvadratické rovnice, jakých hodnot může funkce cosinus nabývat a také jednotkovou kružnici.

Dnes si spočítáme stejnou základní goniometrickou rovnici jako v předchozím příkladu, pouze si zaměníme funkci sinus za funkci cosinus. Ukážeme si, jak funguje v jednotkové kružnici a snadno spočítáme dvě záladní řešení.

K dalším rovnicím na opakování si přidáme základní goniometrickou rovnici sinx. Pomocí jednotkové kružnice a základní tabulky goniometrických funkcí si můžeme snadno dopočítat naše dva základní kořeny.

Vedle sinové věty si v obecném trojúhelníku zopakujeme také větu kosinovou. Použijeme ji například, máme-li dvě strany a úhel jimi sevřený, a tím snadno dopočítáme třetí stranu. Na zbylé úhly pak využijeme známou sinovou větu a trojúhelník tak dopočítáme.

Jak spočítat všechny strany obecného trojúhelníku a také všechny jeho vnitřní úhly si dnes ukážeme pomocí sinové věty. Použijeme ji k výpočtu hned dvakrát a zároveň si zopakujeme, kolik je součet vnitřích úhlů v trojúhelníku.

Společně si dnes zopakujeme vzájemnou polohu přímky a paraboly. Podívejte se, kdy může být přímka tečnou, sečnou a nebo vnější přímkou. Pomocí soustavy rovnic a hodnoty diskriminantu vše snadno spočítáme.

Dnešní příklad si spočítáme na kuželosečku a tentokrát si vezmeme hyperbolu. Pomocí souřadnic ohnisek a velikosti její hlavní poloosy snadno zjistíme střed i velikost vedlejší poloosy, a tím i středovou rovnici hyperboly.

Druhou kuželosečku na procvičení si vezmeme elipsu a určíme si její střed, hlavní i vedlejší vrcholy a také ohniska. Podívejte se, jak určit délky hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu, i zapsání souřadnic všech bodů.

Jako první kuželosečku na zopakování si vezmeme kružnici. Spočítáme si její středový tvar, známe-li její střed a bod, který kružnicí prochází. Jasně a přehledně.

Obecná rovnice přímky je úzce spjata s lineární funkcí. My si dnes ukážeme, jak pomocí normálového vektoru a bodu, který leží na přímce, snadno spočítat obecný tvar přímky. Rychle a jasně.

Pojďte se dnes podívat na parametrické vyjádření přímky. Jednoduše spočítáme směrový vektor a pomocí parametrického vyjádření můžeme nalézt všechny body přímky. Rychle a přehledně. Zdroj:www.matematikarka.cz.

Dnes si společně zopakujeme co je to vektor, jak ho zakreslit v kartézské soustavě souřadnic a jak se k němu i dopočítat. A to celé proto, abychom mohli určit jeho velikost. Podívejte se s námi! Rychle a srozumitelně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Dnes si společně vyřešíme iracionální rovnici neboli rovnici s neznámou pod odmocninou. Ukážeme si, jak se šikovně zbavit druhé odmocniny, i kdy použít algebraický vzorec. Nesmíme však zapomenout na podmínku rovnice a také zkoušku. Podívejte se s námi! Jasně a přehledně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Pojďte se dnes podívat, jak jednoduše vyřešit rovnici s absolutní hodnotou. Do zadání si napíšeme jednu absolutní hodnotu a ukážeme si, jak si to rozdělit na dva intervaly a ty šikovně dopočítat. Snadno a přehledně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Další rovnici na zopakování si ukážeme logaritmickou rovnici. Při počítání využijeme hned dvě věty o logaritmech, které nás dovedou ke klasické rovnici a krásnému výsledku. A nevynecháme ani podmínky, pro které je celá naše rovnice definovaná. Jasně a jednoduše. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Pojďte se dnes s námi podívat, jak spočítat exponenciální rovnici. S Lenkou Fabiánovou si ukážeme, jak šikovně najít stejný základ mocniny a jak rovnici spočítat. Zopakujeme si nejen úpravy mocnin, ale i obyčejnou lineární rovnici. Jasně a přehledně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Dnes si ke kvadratickým rovnicím přidáme ještě kvadratickou funkci. Společně si nakreslíme graf funkce, určíme si průsečíky s osami souřadnic a nakonec si řekneme její vlastnosti. Podívejte se s námi, jak šikovně nakreslit parabolu. Jednoduše a jasně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Dnes si ukážeme ještě jeden způsob, jak spočítat kořeny kvadratické rovnice, a to pomocí Vietových vztahů. Pojďte se s námi podívat, jak šikovně spočítat kořeny bez použití diskriminantu. Jasně a přehledně. Zdroj: www.matematikarka.cz.