Matika pro vysokou

Zopakovali jsme již všechny čtyři klasické úlohy na užití určitého integrálu a tak si na závěr spočítáme ještě jeden obyčejný určitý integrál. Počítáme pomocí substituce a ukážeme si, jak substituovat i dané meze.

Další příklad si zopakujeme výpočet obsahu rotační plochy a opět si využijeme k počítání určitý integrál. Máme daný vzorec a postupnými kroky si vše spočítáme. Nakonec funkci zintegrujeme a dosadíme dané meze.

V dalším příkladu na užití určitého integrálu si spočítáme objem tělesa v daném intervalu, které vzniká rotací obrazce ohraničeného grafem funkce sinx a rotuje kolem osy x. Použijeme vzorec pro objem tělesa, zopakujeme si goniometrický vzorec a také substituci.

Ve druhém příkladu na užití určitého integrálu si spočítáme délku oblouku křivky. Pomocí odvozeného vzorce si funkci nejdříve zderivujeme, umocníme, přičteme jedničku a nakonec odmocníme. A toto celé nakonec zintegrujeme jako určitý integrál v daných mezích.

Do nového tématu pro tento měsíc si společně zopakujeme použití určitého integrálu. Vezmeme si dvě funkce, které si nakreslíme do kartézské soustavy souřadnic a vytvoříme si plochu, jejíž obsah chceme spočítat.

Na závěr parciálních funkcí dvou proměnných si spočítáme lokální extrémy funkce. Opět použijeme obě parciální derivace, zopakujeme si soustavu rovnic a řekneme si, co je to Hessián. A také jak poznáme, že máme lokální maximum a nebo minimum funkce.

Dnes si zopakujeme jedno ze základních užití parciálních derivací a to rovnici tečné roviny ke grafu funkce v tečném bodě. Máme zadanou funkci dvou proměnných, spočítáme si obě první parciální derivace a jejich funkční hodnoty v daném bodě. Nakonec vše dosadíme do obecného tvaru.

Ve druhém příkladu za parciálního počtu dvou proměnných si spočítáme druhou parciální derivaci podle “y”. Zderivujeme tedy dvakrát naši funkci tak, že “x” je konstanta a “y” je proměnná.

Dnes si otevřeme další nové téma a to diferenciální počet funkce dvou proměnných. Na úvod si zopakujeme první parciální derivace jak podle “x”, tak podle “y” a připomeneme si základní derivace funkce.

Téma determinanty si dnes společně uzavřeme Cramerovým pravidlem. V soustavě lineárních rovnic si pomocí výpočtu determinantů spočítáme neznámou “z”. Opět použijeme Sarrusovo pravidlo k výpočtu determinantu 3. řádu a nakonec oba determinanty spolu vyděíme.

V dalším pokračování počítání s determinanty si zopakujeme, jak spočítat determinant 4. řádu. Pro výpočet použijeme Laplaceův rozvoj neboli rozvoj pomocí řádku nebo sloupcea velice šikovně tak využijeme naše znalosti z předchozího počítání.

Ve druhém příkladu z počítání s determinanty si spočítáme determinantovou rovnici. Ze zadání si spočítáme jednotlivé determinanty pomocí známých metod a rovnici tak nakonec snadno spočítáme.

Pro tento týden jsem si pro vás připravila opakování integrálů a vybrala jsem 6 příkladů nejen z loňského školního roku, ve kterých máme ukázány základní metody počítání.

V maticovém počtu si pro tento měsíc ještě zůstaneme a zopakujeme si počítání s determinanty. Na úvod si spočítáme, zda je matice regulární, právě za pomoci výpočtu determinantu. Použijeme Sarrusovo pravidlo, které lze využít pro determinanty 3. řádu a podle výsledku rozhodneme, jestli je daná matice regulární.

Na závěr maticového počtu si spočítáme ještě jeden klasický příklad a to na hodnost matice v závislosti na parametru. Vytvoříme si pomocí Gaussovy eliminační metody nuly pod diagonálu a provedeme si diskuzi nad možnostmi hodnosti matice v závislosti na parametru p.

V dalším příkladu si společně spočítáme maticovou rovnici. Nejdříve si ji šikovně upravíme, abychom získali přesný postup, jak spočítat hledanou matici. Poté si v jednotlivých krocích vypočteme vše potřebné a nakonec vynásobením dvou dílčích matic získáme neznámou matici X.

Ve druhém příkladu z maticového počtu si ukážeme, jak určit matici transponovanou k dané matici. Velice snadno si pouze zaměníme řádky za sloupce a máme hotovo. Na závěr si ještě obě matice vynásobíme a zopakujeme si tak i součin dvou matic.

Naše nové téma pro tento měsíc bude maticový počet. Na úvod si zopakujeme, jak poznat matici regulární či singulární. Dále si zvolíme pro výpočet Gaussovu eliminační metodu a pomocí nul pod diagonálu matici šikovně upravíme. Nakonec rozhodneme o jakou matici se jedná.

V posledním příkladu z integrálního počtu si ještě zopakujeme integraci racionální lomené funkce. Intergál si rozložíme na součet dvou parciálních zlomků, ve kterých si šikovně dopočítáme jejich konstanty. Nakonec vše snadno zintegrujeme podle tabulkového vzorce.

V dnešním příkladu si spočítáme integrál, ve kterém použijeme tentokrát metodu substituce. Šikovně si nahradíme argument goniometrické funkce tak, abychom byli schopní integrál snadno zintegrovat. Nezapomeneme ani na “dx” a nakonec vše do výsledku zpátky vrátíme.

Ve druhém příkladu na integraci si zopakujeme metodu per partes. Máme dvě vhodné funkce v součinovém tvaru, kde pomocí vzorce a šikovné tabulky si vše šikovně upravíme. Nakonec integrál hezky zintegrujeme.

Do příštího nového tématu bych ráda navázala na derivace a zopakujeme si jejich opak, což je integrace. Ukážeme si, jak integrály fungují a jaké základní metody se při počítání používají. Začneme hezky přímou metodou, kde si pouze funkce šikovně upravíme a poté podle tabulkových vzorců zintegrujeme.

Dalšé použití derivací si ukážeme Taylorův rozvoj funkce 3. stupně v okolí daného bodu. Spočítáme si hned tři derivace po sobě a poté si do všeho dosadíme za “x” hodnotu okolí našeho bodu. Nakonec vše dosadíme do vzorce pro Taylorovu řadu.

V dalším příkladu si společně zopakujeme, jak za pomoci derivace spočítat rovnici tečny a normály ke grafu funkce. Nejdříve si zjistíme y-ovou souřadnici tečného bodu, funkci zderivujeme a znovu dosadíme tečný bod. Nakonec to vše dáme do vzorce pro tečnu a normálu.

Dnes si společně ukážeme, jak využít derivace při počítání. A jako první příklad si spočítáme limitu za použití L´Hospitalova pravidla. Zopakujeme si nejen derivace, ale i jak poznat, že limitu počítáme L´Hospitalovýcm pravidlem.

Téma “Derivace funkce” si uzavřeme poslední derivací složené funkce. Celou funkci si hezky postupně zderivujeme a derivaci si upravíme do jedné zlomkové čáry.

V dalším pokračování na téma derivace si společně připomeneme, jak správně derivovat funkci v násobení a v dělení. Zopakujeme si vztahy pro derivaci součinu a podílu a lehce procvičíme složené funkce. Vše za použití některých základních vzorců pro derivaci.

Do dalšího tématu si společně otevřeme diferenciální počet funkcí jedné proměnné a začneme derivcemi základních funkcí. Zopakujeme si na třech příkladech, jak fungují derivace a jak snadno používat tabulkové vzorce.

Spočítáme si příklad na lineární kombinaci vektorů. Chceme rozhodnout, zda vektor u je kombinací...

Ve druhém příkladu na úpravu mocnin si upravíme algebraický výraz tak, aby výsledek neobsahoval mocniny se záporným exponentem. Zopakujeme si základní pravidla při počítání s mocninami a výraz tak snadno zjednodušíme.

První téma vysokoškolské matematiky si zopakujeme definiční obory funkce. Připomeneme si všechny základní podmínky pro určování definičního oboru a také si zopakujeme řešení nerovnic. Podívejte se s námi!

Na ukázku si dnes spočítáme integrál, ve kterém k integraci použijeme goniometrické vzorce. Podívejte se, jak si přepsat tangens(x) a jak také zlomek roztrhnout na dva jednotlivé integrály.

Další parciální derivaci druhého řádu si spočítáme smíšenou parciální derivaci. Funkci si zderivujeme nejdříve podle proměnné “x” a druhou derivaci z ní pak spočítáme podle “y”.

K obyčejným parciálním derivacím si přidáme ještě parciální derivaci druhého řádu funkce podle x. Máme “x” jako proměnnou a “y” je konstanta a funkci tak dvakrát hezky zderivujeme.

V dnešním příkladu si spočítáme parciální derivace. Ukážeme si, kdy je “x a y” proměnná a kdy se jedná o funkci. Zopakujeme si základní pravidla derivací.

Dříve než si zopakujeme parciální derivace a jejich použití, bude vhodné si připomenout definiční obor funkce dvou proměnných. Platí nám zde stejné podmínky jako u funkce jedné proměnné, jen si vše zakreslíme do obrázku.

Společně jsme si již zopakovali nejedno téma z vysokoškolské matematiky, můžeme tak využít naše znalosti a zkusit si určit celkový průběh funkce. Připomeneme si, co všechno patří k vyšetřování průběhu funkce a jak šikovně použít první i druhou derivaci.

V krátkosti si dnes ještě zopakujeme jednu derivaci a to derivaci složené goniometrické funkce. Derivovat začneme od funkce vnější a skončíme u argumentu goniometrické funkce.

Jak najít rovnici tečny ke grafu funkce, která je rovnoběžná s danou přímkou, si zopakujeme v dnešním příkladu. Pomocí derivace funkce a směrnice přímky nalezneme tečný bod a vše snadno dosadíme do obecného tvaru tečny.

V dalším příkladu na limity si spočítáme limity funkce v kraních bodech jejího definičního oboru. Nejdříve si určíme definiční obor funkce a poté spočítáme jednostranné limity.

Dnes bychom si procvičili další limitu funkce, tentokráte typu “nekonečno minus nekonečno”. Podívejte se s námi, jak ji šikovně rozšířit, abychom si snadno spočítali.

Ještě chvíli zůstaneme u definičního oboru a ukážeme si, jak spočítat definiční obor cyklometrické funkce arkus sinus. Z grafu snadno zjistíme, v jakém intervalu je funkce definována a pomocí dvou nerovnic vše snadno spočítáme.

V dnešním příkladu si společně ukážeme, jak najít předpis inverzní funkce. Určíme si také definiční obor a obor hodnot nejen původní funkce, ale také funkce inverzní.

Dnes si ukážeme, jak pomocí matic vyřešit soustavu lineárních rovnic. K výpočtu použijeme Gaussovu eliminační metodu a zopakujeme si, jak to vypadá, když má soustava nekonečně mnoho řešení.

Jedním z početních operací u matic, které není zcela intuitivní, je násobení matic. Spolešně si dnes ukážeme, jaký je rozdíl, násobíme-li matice A*B a nebo B*A.

Soustavy lineárních rovnic lze počítat více způsoby. My si dnes zopakujeme řešení pomocí Cramerova pravidla. Použjeme Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu řádu 3x3, a pro pochopení nám bude stačit dopočítat neznámou y.

V dalším příkladu z integrálního počtu si spočítáme obsah plochy vymezený křivkami. Pomocí určitého integrálu a zakreslení funkcí do souřadnicového systému vše snadno vyřešíme.

V dalším příkladu na opakování si spočítáme šikmou asymptotu grafu funkce. Využijeme k tomu dva šikovné vzorce a znalosti z počítání s limitami. Rychle a srozumitelně.

Mezi integrály si vložíme trocha opakování na použití derivací a spočítáme si Taylorův polynom 3.stupně. A k tomu nám stačí funkční hodnota a tři derivace v daném bodě. Jasně a přehledně, Zdroj: www.matematikarka.cz.

Další příklad si zopakujeme integrál pomocí metody substituce. Ukážeme si, jak jednoduše převést integrál na takovou funkci, kterou budeme schopni hravě zintegrovat. Jasně a srozumitelně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

V dnešním příkladu si zintegrujeme integrál, ve kterém nepoužijeme žádnou metodu a jen si ho šikovně upravíme. Podívejte se, jak snadno lze integrovat. Rychle a přehledně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Dnes si společně ukážeme, jak pomocí druhé deriace spočítat intervaly, ve kterých je funkce konkávní a nebo konvexní. A zároveň si určíme inflexní bod. Podívejte se s námi! Jasně a srozumitelně. Zdroj: www,matematikarka.cz.

V dnešním počítání si ukážeme, jak využit 1.derivaci k určení monotónnosti funkce. Začneme definičním oborem funkce a dále pak pomocí derivace zjistíme, ve kterých intervalech je funkce roustoucí a nebo klesající. Podívejte se s námi! Jasně a přehledně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Dnes si společně spočítáme limitu funkce, která by se dala řešit pomocí L´Hospitalova pravidla, my si ji však ukážeme snadněji pomocí obyčejných úprav. Takovéto počítání můžeme najít i u limit posloupnosti a nebo u řešení průběhu funkcí. Podívejte se s námi! Rychle a srozumitelně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Další šikovné využití derivací máme u počítání limit pomocí L´Hospitalova pravidla. Pojďte si s Lenkou Fabiánovou spočítat limitu funkce a ukázat si, jak L´Hospitalovo pravidlo funguje. Zopakujeme si derivace a ještě trochu goniometrické funkce. Jasně a přehledně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

V dnešním videu se s Lenkou Fabiánovou podíváme, jak využít derivaci funkce k nalezení rovnice tečny a normály ke grafu funkce. Podívejte se, jak se dopočítá y-ová součadnice tečného bodu, jak se derivuje složená mocninná funkce a i jak se spočítá derivace v tečném bodě. Závěrem to celé dosadíme do vzorce a máme hotovo. Jasně a srozumitelně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Dnes si zopakujeme ještě jeden způsob derivace, a to derivaci složené funkce. Podívejte se s námi, jak zderivovat funkci přirozeného logaritmu, odmocniny a ještě si to celé hezky upravit. Jasně a přehledně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

V minulém videu jsme si ukázali, jak zderivovat součin dvou funkcí. A v dnešním videu na to navážeme, a ukážeme si, jak zderivovat ještě podíl dvou funkcí, neboli dvě funkce ve zlomkové čáře. Podívejte se, že derivace mají svá pravidla, která se dají hezky zapamatovat. Jednoduše a srozumitelně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

V dalších příkladech na derivace si ukážeme jeden hodně používaný vztah a to vztah pro derivaci součinu. Máte-li dvě funkce spolu v násobení, je potřeba se tímto vzorcem vždycky řídit. S Lenkou Fabiánovou si ukážeme dva příklady na derivaci součinu, jak správně použít vzorec, a jak zjistit, že je to docela fajn. Jendoduše a jasně. Zdroj: www.matematikarka.cz.

Derivace funkce patří k základům vysokoškolské matematiky. Proto si dnes spočítáme s Lenkou Fabiánovou čtyři příkldy na základní vzorec pro mocninnou funkci. A zároveň si ukážeme, jak správně upravit funkci, aby nám derivace byla co nejpříjemnější. Rychle a jednoduše. Zdroj: www.matematikarka.cz.